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15 KiB
Python
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Python
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import heapq
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import sys
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from math import sqrt
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from functools import reduce
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from random import randint
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# J'ai utilisé dans cet exo l'algorithme de Fortune pour calculer le diagramme de Voronoï des points d'accès wifi
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# J'ai utilisé une skiplist à la place d'un arbre binaire balancé car j'ai un peu la flemme de coder un rb-tree ^^
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# Avant d'utiliser une skiplist, j'avais une liste doublement chaînée utilisant la même interface, car c'est plus facile à
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# coder et du coup moins de chance d'avoir des bugs. Avec j'avais une complexitée de O(n*(n+h)) où h est le nombre de points
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# sur l'enveloppe convexe. Avec une skiplist, j'ai une complexité de O(n*(log(n)+h)), mais j'ai été déçu car la constante
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# de temps fait que la skiplist devient avantageuse autour de N=20000, et l'énoncé donne N<=2000...
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# On m'a néanmoins conseillé de donner l'algorithme avec la meilleure complexité, donc la voici.
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# Une priority queue car elles sont nécessairement synchronisées dans python... grr.
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class PriorityQueue:
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def __init__(self, elems):
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self.queue = [[prio, i, elem] for (i, (elem, prio)) in enumerate(elems)]
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self.entryFinder = {}
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for entry in self.queue:
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self.entryFinder[entry[2]] = entry
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heapq.heapify(self.queue)
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self.counter = len(self.queue)
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def push(self, elem, priority):
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entry = [priority, self.counter, elem]
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self.entryFinder[elem] = entry
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heapq.heappush(self.queue, entry)
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self.counter += 1
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def top(self):
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while self.queue:
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candidate = self.queue[0][2]
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if candidate != None:
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return candidate
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heapq.heappop(self.queue)
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return None
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def pop(self):
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while self.queue:
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candidate = heapq.heappop(self.queue)[2]
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if candidate != None:
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del self.entryFinder[candidate]
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return candidate
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return None
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def contains(self, elem):
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return elem in self.entryFinder
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def remove(self, elem):
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entry = self.entryFinder.pop(elem)
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entry[2] = None
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def empty(self):
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return self.top() == None
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# Une classe représentant l'enveloppe convexe d'un ensemble de points
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class ConvexHull:
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def __init__(self, sites):
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# On la calcule avec un parcours de graham
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sortedSites = sorted(sites, key=lambda s:s.x)
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up = reduce(ConvexHull.keepLeft, sortedSites, [])
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down = reduce(ConvexHull.keepLeft, reversed(sortedSites), [])
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self.hull = up + down[1:-1]
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def det(a, b, n):
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return (b.x-a.x)*(n.y-a.y) - (b.y-a.y)*(n.x-a.x)
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def keepLeft(hull, n):
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while len(hull) > 1 and ConvexHull.det(hull[-2], hull[-1], n) <= 0:
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hull.pop()
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hull.append(n)
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return hull
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def isLeftTo(a, b, s):
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return (s.x-a.x)*(b.y-a.y)-(s.y-a.y)*(b.x-a.x) < 0
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def isInsideHull(self, s):
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for i in range(len(self.hull)):
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if not ConvexHull.isLeftTo(self.hull[i-1], self.hull[i], s):
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return False
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return True
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# Classe représentant un point dans le plan. C'est nommé "Site" car c'est comme ça que sont nommés les points
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# dont il faut calculer le diagramme de voronoi dans les papiers de Fortune
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class Site:
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def __init__(self, x, y):
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self.x = x
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self.y = y
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def dist(self, other):
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return sqrt((self.x-other.x)**2 + (self.y-other.y)**2)
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# Une parabole de la beachline
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class Parabola:
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def __init__(self, ctx, site):
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self.ctx = ctx
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self.site = site
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self.ledge = None
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self.redge = None
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def getEquation(self):
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x = self.site.x
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y = self.site.y
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l = self.ctx.sweepline
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div = 2*(y-l)
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if div == 0: #FIXME
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return None
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# Retourne (a, b, c) tels que y = a*x^2 + b*x + c
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# Obtenus en résolvant en y sqrt((x-xa)^2 + (y-ya)^2) = y-l avec xa = self.site.x, ya = self.site.y
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return (1/div, -2*x/div, (x*x + y*y - l*l)/div)
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def intersect(self, other):
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if self.getEquation() == None:
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return self.site.x
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if other.getEquation() == None:
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return other.site.x
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(a, b, c) = tuple(map(lambda x, y: x-y, self.getEquation(), other.getEquation()))
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if a == 0: #FIXME
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# b*x + c = 0
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return -c/b
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else:
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# a*x^2 + b*x + c = 0
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discr = sqrt(b*b-4*a*c)
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x1 = (-b-discr)/(2*a)
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x2 = (-b+discr)/(2*a)
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if self.site.y < other.site.y:
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return min(x1, x2)
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else:
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return max(x1, x2)
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# Donne le point où la parabole va être "écrasée" par ses deux voisines
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def circleCenter(self):
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return self.ledge.intersect(self.redge)
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def hasCircleCenter(self):
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return self.ledge != None and self.redge != None and self.circleCenter() != None
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# Renvoie la position de la sweepline quand la parabole va disparaitre
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def circleEventY(self):
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voronoiVertex = self.circleCenter()
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return voronoiVertex.y + voronoiVertex.dist(self.site)
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# Renvoie une copie, sans ledge et redge car elles sont recalculées après une copie
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def copy(self):
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return Parabola(self.ctx, self.site)
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# Représente une arête du diagramme de voronoï
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class Edge:
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def __init__(self, leftSite, rightSite):
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self.ls = leftSite
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self.rs = rightSite
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# a*x + b*y = c
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# Obtenus en résolvant en x et y sqrt((x-ls.x)^2 + (y-ls.y)^2) = sqrt((x-lr.x)^2 + (y-lr.y)^2)
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self.a = 2*(rightSite.x - leftSite.x)
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self.b = 2*(rightSite.y - leftSite.y)
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self.c = rightSite.x**2 + rightSite.y**2 - (leftSite.x**2 + leftSite.y**2)
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def intersect(self, other):
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# Résolution via la méthode de Cramer
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det = self.a*other.b - self.b*other.a
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if det == 0: #FIXME
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return None
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return Site((self.c*other.b - self.b*other.c)/det, (self.a*other.c - self.c*other.a)/det)
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# Représente un noeud d'une skip-list doublement chaînée
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class SkipListNode:
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def __init__(self, height, parabola):
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self.prv = [None]*height
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self.nxt = [None]*height
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self.parabola = parabola
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# Représente une skiplist
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class SkipList:
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def __init__(self, elems):
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self.maxHeight = SkipList.randomHeight()
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self.head = SkipListNode(self.maxHeight, elems[0])
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updateList = [self.head]*self.maxHeight
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for i in range(1, len(elems)):
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self.insertAfter(elems[i], updateList)
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# Renvoie une hauteur aléatoire
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def randomHeight():
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height = 1
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while randint(1, 2) != 1:
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height += 1
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return height
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# Insertion d'un élément en fournissant le résultat de getElemByX() dans updateList
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# Ça met aussi à jour updateList pour insérer à nouveau un élément après celui qu'on vient d'insérer
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def insertAfter(self, elem, updateList):
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height = SkipList.randomHeight()
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self.maxHeight = max(height, self.maxHeight)
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newNode = SkipListNode(height, elem)
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# On ajuste la hauteur de updateList et self.head.nxt
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while len(self.head.nxt) < self.maxHeight:
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self.head.nxt.append(None)
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while len(updateList) < self.maxHeight:
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updateList.append(self.head)
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for i in range(height):
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# Là c'est comme dans une liste doublement chaînée sauf qu'il y a des [i] partout
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newNode.prv[i] = updateList[i]
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newNode.nxt[i] = updateList[i].nxt[i]
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if updateList[i].nxt[i] != None:
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updateList[i].nxt[i].prv[i] = newNode
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updateList[i].nxt[i] = newNode
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updateList[i] = newNode
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return newNode
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# Enlève un élément
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def remove(self, node):
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for i in range(len(node.nxt)-1, -1, -1):
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# Là c'est aussi comme pour une liste doublement chaînée mais avec des [i] partout
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node.prv[i].nxt[i] = node.nxt[i]
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if node.nxt[i] != None:
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node.nxt[i].prv[i] = node.prv[i]
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if self.head.nxt[i] == None:
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self.maxHeight -= 1
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# On donne un X, et ça dit quelle est la parabole présente à cet endroit
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# Ça renvoie les éléments à modifier si on insère une autre parabole après celle cherchée
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def getElemByX(self, x):
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updateList = [None]*self.maxHeight
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node = self.head
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for i in range(self.maxHeight-1, -1, -1):
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while node.nxt[i] != None and self.getX(node) < x:
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node = node.nxt[i]
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# Souvent on "overshoot" la parabole et il faut revenir un peu en arrière
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if node.prv[0] != None and self.getX(node.prv[0]) > x:
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node = node.prv[i]
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updateList[i] = node
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return updateList
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# Renvoie le x où node.parabola se termine
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def getX(self, node):
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return node.parabola.intersect(node.nxt[0].parabola)
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# Représente un évènement, circle event ou site event
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class Event:
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def __init__(self, isSiteEvent, elem):
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self.isSiteEvent = isSiteEvent
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self.elem = elem
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# Pour pouvoir enlever des éléments de la hashtable de la priority queue
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def __hash__(self):
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return hash(self.isSiteEvent) ^ hash(self.elem)
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def __eq__(self, other):
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return other != None and self.isSiteEvent == other.isSiteEvent and self.elem == other.elem
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class Context:
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def __init__(self, sites):
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self.sweepline = 0
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self.sites = [Site(x, y) for (x, y) in sites]
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minY = min([site.y for site in self.sites])
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# Les sites qui seront dans la beachline
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sitesBL = [site for site in self.sites if site.y == minY] #FIXME
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# Les sites qui seront dans la priority queue
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sitesQ = [site for site in self.sites if site.y != minY] #FIXME
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self.queue = PriorityQueue([(Event(True, site), site.y) for site in sitesQ])
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self.beachline = SkipList(list(map(lambda site: Parabola(self, site), sorted(sitesBL, key=lambda site: site.x))))
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# On calcule les arêtes associées aux paraboles de la beachline
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node = self.beachline.head
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while node.nxt[0] != None:
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self.updateREdge(node)
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node = node.nxt[0]
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self.sweepline = minY
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self.maxDist = 0
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self.hull = ConvexHull(self.sites)
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# Enlève un circle event de la queue
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def removeCircleEvent(self, node):
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if self.queue.contains(Event(False, node)):
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self.queue.remove(Event(False, node))
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# Ajoute un circle event dans la queue après quelques vérifications
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def addCircleEvent(self, node):
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def isRight(a, b, s):
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return (b.x-a.x)*(s.y-a.y)-(b.y-a.y)*(s.x-a.x) >= 0
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parabola = node.parabola
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if parabola.hasCircleCenter():
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pos = parabola.circleEventY()
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center = parabola.circleCenter()
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# On ajoute l'event si il est derrière la sweepline et si la parabole va en effet disparaitre
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# (elle disparait si les points de la parabole de gauche, du milieu, de droite tourne dans le sens horaire, ce que calcule isRight)
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if pos > self.sweepline and isRight(node.prv[0].parabola.site, node.parabola.site, node.nxt[0].parabola.site):
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self.queue.push(Event(False, node), pos)
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# Calcule l'arête à droite d'une parabole
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def updateREdge(self, node):
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if node.nxt[0] != None:
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edge = Edge(node.parabola.site, node.nxt[0].parabola.site)
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node.parabola.redge = edge
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node.nxt[0].parabola.ledge = edge
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# On a trouvé un point du diagramme de voronoi ! C'est là qu'il risque d'y avoir des jaloux
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# Si le point du diagramme est en dehors de l'enveloppe convexe de tous les points alors
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# Il n'y aura pas de jaloux là, il faut donc ne pas mettre à jour self.maxDist
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def handleResult(self, v, p1, p2, p3):
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d = v.dist(p1)
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if d > self.maxDist and self.hull.isInsideHull(v):
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self.maxDist = d
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# La partie intéressante de l'algorithme, le traitement d'un event
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def processEvent(self):
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event = self.queue.pop()
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# Si c'est un site event
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if event.isSiteEvent:
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# On récupère quelques infos
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site = event.elem
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self.sweepline = site.y
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updateList = self.beachline.getElemByX(site.x)
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leftNode = updateList[0]
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xpos = self.beachline.getX(leftNode) if leftNode.nxt[0] != None else float("nan")
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# On ajoute notre parabole
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middleNode = self.beachline.insertAfter(Parabola(self, site), updateList)
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# On enlève un éventuel circle event de la parabole qu'on "coupe"
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self.removeCircleEvent(leftNode)
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# Si on coupe une parabole
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if site.x != xpos: #FIXME
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# On ajoute la parabole qu'on coupe car pour l'instant il n'y a que la partie de gauche
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rightNode = self.beachline.insertAfter(leftNode.parabola.copy(), updateList)
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self.updateREdge(rightNode)
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# Si on s'intercale entre deux paraboles
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else:
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# On a trouvé un point du diagramme de voronoï, youhou !
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self.handleResult(Edge(site, leftNode.parabola.site).intersect(Edge(site, middleNode.nxt[0].parabola.site)), site, leftNode.parabola.site, middleNode.nxt[0].parabola.site)
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# On re-calcule les arêtes
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self.updateREdge(leftNode)
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self.updateREdge(middleNode)
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# On ajoute les éventuels circle events
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self.addCircleEvent(leftNode)
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if site.x != xpos: #FIXME
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self.addCircleEvent(rightNode)
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# Si c'est un circle event
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else:
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# On récupère quelques infos
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middleNode = event.elem
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leftNode = middleNode.prv[0]
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rightNode = middleNode.nxt[0]
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self.sweepline = middleNode.parabola.circleEventY()
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# On a trouvé un point du diagramme de voronoï, youhou !
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self.handleResult(middleNode.parabola.circleCenter(), leftNode.parabola.site, middleNode.parabola.site, rightNode.parabola.site)
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# On enlève les éventuels circle events
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self.removeCircleEvent(leftNode)
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self.removeCircleEvent(rightNode)
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# On enlève la parabole qui disparait
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self.beachline.remove(middleNode)
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# On ajoute les nouveaux circle events
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self.updateREdge(leftNode)
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self.addCircleEvent(leftNode)
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self.addCircleEvent(rightNode)
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def process(self):
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# Tant qu'il y a du boulot, on le traite !
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while not self.queue.empty():
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self.processEvent()
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def wifi(N, coords):
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# La fonction "wifi" est maintenant très compliquée à coder
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ctx = Context(coords)
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ctx.process()
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return ctx.maxDist
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if __name__ == '__main__':
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N = int(input())
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coords = [tuple(map(int, input().split())) for _ in range(N)]
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f = wifi(N, coords)
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if f == 0: #FIXME
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print("0")
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else:
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print("%.3f" % f)
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